VOAB is de eerste club op de spelerspas van Lammers, die daarna uitkomt in de jeugdopleidingen van Willem II, Willem II/RKC en PSV. In 2015 debuteert hij in het betaalde voetbal met Jong PSV en een jaar later maakt hij voor het eerst speelminuten in de hoofdmacht van de Eindhovenaren.
In het seizoen 2018/2019 draagt Lammers, op huurbasis, het shirt van sc Heerenveen. Namens de Friezen scoort hij 19 keer in 35 partijen. Hij keert terug naar PSV, om in de zomer van 2020 een buitenlands avontuur aan te gaan, bij Atalanta Bergamo in Italië. Nadien doet de aanvaller, ex-jeugdinternational, op huurbasis ook ervaring op bij de Italiaanse clubs Empoli en Sampdoria en het Duitse Eintracht Frankfurt. Afgelopen zomer verkast Lammers naar Rangers FC. Namens die Schotse topclub komt hij tot nu toe 31 keer in actie.
“In de persoon van Sam verwelkomen we een gedreven spits”, zegt Technisch Directeur Jordy Zuidam van FC Utrecht. “Hij beschikt over specifieke kwaliteiten die we goed kunnen gebruiken binnen het team. Hij kent de Eredivisie goed, heeft de laatste jaren buitenlandse ervaring opgedaan en is direct inzetbaar. We zijn blij dat Sam voor ons heeft gekozen en we de rest van dit seizoen een beroep op hem kunnen doen.”