Finnsson legt de basis voor zijn voetballoopbaan bij Fylkir, in de IJslandse hoofdstad Reykjavík. Op 14-jarige leeftijd maakt hij bij die club zijn debuut in de hoofdmacht. Hij wordt daarmee de jongste speler aller tijden in het vlaggenschip van Fylkir. In 2016 verkast de zoon van oud-prof en international van IJsland Finnur Kolbeinsson naar FC Groningen, waar hij enkele jaren deel uitmaakt van de jeugdopleiding voordat hij aan de slag gaat bij het Engelse Brentford FC.
Na het opdoen van ervaringen in Nederland en Engeland transfereert Finnsson naar Duitsland, waar hij zich verbindt aan Borussia Dortmund II. Vanuit die club stapt hij in 2023, na 78 duels in het geel-zwart, over naar het Deense Lyngby BK. Voor die ploeg speelt Finnsson 53 partijen.
Door de jaren heen doet de linksback als (jeugd)international ook behoorlijk wat ervaring op. Finnsson speelt 50 jeugdinterlands en komt 12 keer uit voor de nationale ploeg van IJsland.
Finnsson kan de eerste IJslander in de hoofdmacht van FC Utrecht worden. In het verleden spelen zijn landgenoten Sigmundur Kristjánsson (2002-2004) en Viktor Bjarki Arnarsson (1999-2002) hun wedstrijden in opleidingsteams van de Utrechters. Finnsson gaat bij FC Utrecht spelen met rugnummer 5.
“Het voelt heel goed om hier te zijn”, vertelt Kolbeinn Finnsson bij zijn eerste interview in Stadion Galgenwaard. “Een paar weken geleden hoorde ik voor het eerst van de interesse vanuit FC Utrecht. Vanaf dat moment was ik meteen enthousiast en de trainer Ron Jans ken ik nog een beetje van mijn tijd bij FC Groningen. De club past goed bij mij vanwege de speelstijl, ik ben een speler die veel energie in de wedstrijd legt en hard werkt. Ik geef altijd 100% voor het team en kijk enorm uit naar mijn tijd hier.”