De in Bangkok geboren Eppink komt in zijn eerste jaren als doelman uit voor Sinobal FC in het Chinese Hangzhou, waar de doelman op dat moment woont. Via de Arsenal Academy Oman komt in 2017 Ajax hem op het spoor. In Amsterdam speelt Eppink één jaar in de jeugdopleiding, waarna hij vervolgens terugkeert naar Oman en gaat voetballen in de Muscat Football Academy. Medio 2021 neemt FC Utrecht hem over en komt Eppink te spelen in de Academie op Sportcomplex Zoudenbalch. In het najaar van 2022 speelt Eppink voornamelijk zijn partijen bij FC Utrecht Onder 17, waarna hij in de winterstop van het huidige seizoen wordt doorgeschoven naar FC Utrecht Onder 18.
“Mees is een keeper die goed in staat is om de ruimte achter de verdediging te bespelen”, vertelt Hoofd Jeugdopleiding Robin Pronk. “Daarnaast beschikt hij over een goede functionele techniek om mee te spelen binnen het opbouwen van aanvallen. Tevens heeft hij het postuur en de lengte om voorzetten te onderscheppen. Wij kijken ernaar uit om samen met Mees deze vaardigheden verder door te ontwikkelen in de komende jaren.”