Finnsson legt de basis voor zijn voetballoopbaan bij Fylkir, in de IJslandse hoofdstad Reykjavík. Op 14-jarige leeftijd maakt hij bij die club zijn debuut in de hoofdmacht. Hij wordt daarmee de jongste speler aller tijden in het vlaggenschip van Fylkir. In 2016 verkast de zoon van oud-prof en international van IJsland Finnur Kolbeinsson naar FC Groningen, waar hij enkele jaren deel uitmaakt van de jeugdopleiding voordat hij aan de slag gaat bij het Engelse Brentford FC.